cosx/sinx+cosx的不定積分是：∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C。C為積分常數。
解答過程如下：
∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(2sinxcosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫[(1+2sinxcosx)-1]/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x)/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/(sinx+cosx)
=(1/2)∫(sinx+cosx)²/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/[√2sin(x+π/4)]
=(1/2)∫(sinx+cosx)dx-[1/(2√2)]∫csc(x+π/4)dx
=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C
記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數或積分常量，求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行不定積分。如果f(x)在區間I上有原函式，即有一個函式F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那麼對任何常數顯然也有[F(x)+C]'=f(x)。即對任何常數C，函式F(x)+C也是f(x)的原函式。這說明如果f(x)有一個原函式,那麼f(x)就有無限多個原函式。
設G(x)是f(x)的另一個原函式，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。於是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由於在一個區間上導數恆為零的函式必為常數，所以G(x)-F(x)=C’(C‘為某個常數）。
這表明G(x)與F(x)只差一個常數。因此,當C為任意常數時，表示式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函式。也就是說f(x)的全體原函式所組成的集合就是函式族{F(x)+C+∞}。
