拐點的充要條件是：二階導數在這個點的左右兩側變號。二階導數等於0是必要條件，若三階導數不為0（前提存在），則必是拐點。三階導數也為0，結論不定。比如f(x)=x^4，0點的2 3階導數都是0，但0不是拐點。從集合的角度來說，必要條件的集合包含要證明的集合，充分條件的集合，是證明集合的子集。總之，必要條件的集合包含的範圍大些，充分的小些。
拐點的定義：
拐點，又稱反曲點，在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即曲線的凹凸分界點）。若該曲線圖形的函式在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號（由正變負或由負變正）或不存在。
在生活中借指事物的發展趨勢開始改變的地方（例如：經濟執行出現回升拐點）。
拓展：
可以按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f(x)的拐點：
（1）求f''(x)；
（2）令f''(x)=0，解出此方程在區間I內的實根，並求出在區間I內f''(x)不存在的點；
在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即連續曲線的凹弧與凸弧的分界點）。若該曲線圖形的函式在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號（由正變負或由負變正）或不存在。
